أرشيف الجداء

»← فضاء الجداء الداخلي →«

فضاء الجداء الداخلي

التعريف :

ليكن لدينا فضاء المتجهات V المعرف على الحقل K ( عادة $خليجية$ أو $خليجية$ ) إن كل دالة $خليجية$ تحقق الشروط التالية : ( حيث $خليجية$ ) ( وإذا كان $خليجية$ يشير إلى المرافق المركب )
$خليجية$
تسمى جداء داخلي (أو ضرب داخلي ) ، ويسمى الفضاء $خليجية$ فضاء الجداء الداخلي

إذا كان $خليجية$ فإن الشرط 3 يصبح $خليجية$ .. أي أنها متناظرة
المسافة والمنظم

في فضاء الجداء الداخلي يتم تعريف المنظم (أو ما يعرف بطول المتجه) بالشكل :
$خليجية$
ويتم تعريف المسافة بين متجهين بالشكل :
$خليجية$
نقول أن المتجهين متعامدان orthogonal إذا كان $خليجية$

خواص الجداء الداخلي </STRONG>

يحقق أي فضاء جداء داخلي متساوية متوازي الأضلاع : $خليجية$

إذا كان متجهان u,v متعامدين فإنها يحقق متطابقة فيثاغورس : $خليجية$

إن أي متجهين u,v يحققان متباينة شوارز Schwarz Inequility و هي : $خليجية$

كذلك فإن متباينة المثلث متحققة : $خليجية$

أمثلة :

إن عملية الجداء النقطي ( أو الضرب العددي ) (dot product) على فضاء المتجهات $خليجية$ تمثل جداء داخلياً .

وأيضاً ، فضاء الدوال المتصلة على فترة : $خليجية$ نعرف الجداء الداخلي :
$خليجية$
فضاء هلبرت

إن فضاء الجداء الداخلي يسمى فضاء هلبرت Hilbert Space إذا كان الفضاء تاماً Complete بالنسبة لدالة المسافة الناتجة من الجداء الداخلي ، وكل فضاء جداء داخلي يمكن تكملته ليصبح فضاء هلبرت .

م/ن