شرح اللوغاريتمات مع تمارين محلولة هامة
——————————————————————————–
الدالة اللوغاريتميه
إذا كان أ ينتمي إلي ح+ – {1} فإن س = لـــــوأ ص يؤدي الي ص = (أ) س
• لـــــوأ ص تقرأ لوغاريتم ص لأساس أ
• الدالة اللوغاريتميه هى الدالة العكسية للدالة الآسية
• س ينتمي إلي ح
• ص ينتمي إلي ح+
مثال (1)
إذا كانت س = لــــــــــــو5 125 اوجد قيمة س ؟
الحل
5 س = 125
5 س = 53
س = 3
مثال (2)
اوجد قيمة س إذا كان
1) لــــــــو2 س = ــ 4
2 ) لـــــــــو س 8 = 6
3) لـــــــــو س 7س = 2
4 ) لــــــــو9 81 3 = س
الحل
1) س = (2)^-4 = 1/16
2) لــــــــو س 8 = 6
س6 = 8 = (2) 3 = ( جذر 2 )6 س = جذر 2
3 ) لـــــــــوس 7س = 2
س 2 = 7 س
س2 – 7س = 0
س ( س – 7 ) = 0
س = 0 & س = 7
4) لــــــــــو9 81 جذر 3 = س يؤدي 9س = 81 جذر 3
(3)4 × جذر 3 = 9 ^س
( جذر 3 ) 9 = ( جذر3 )4س
4 س = 9
س =9/4
CC0000
صَبْراً جَمِيلاً ما أقربَ الفَرَجَا من رَاقَبَ اللَّهَ فِي الأمورِ نَجَا
منْ صدق الله لم ينلهُ أذى ومن رجَاهُ يكونُ حيثُ رَجَا
مثال (3)
اوجد قيمة كل من
1) لــــــــــــو 2 64
2) لـــــــــــو3 243
3) لـــــــــو 5 125
4) لـــــــــــــــو7 7
الحل
1) نفرض أن س = لـــــــــــو2 64
2س = 64 = 2 6 000000000000س = 6
لـــــــــــو2 64 = 6
2) نفرض أن س = لـــــــــــو3 243
3س = 243 = 3 5 00000000000س = 5
لـــــــــــو3 243 = 5
3) نفرض أن س = لـــــــــــو5 125
5س = 125 = 5 3 00000000000س = 3
لـــــــــــو5 125 = 3
4) نفرض أن س = لـــــــــــو7 7
7س = 7 = 7 1 0000000000000س = 1
لـــــــــــو7 7 = 1
قوانين اللوغاريتمات
• لــــــــــــو م س + لــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س × ص
• لــــــــــــو م س – لـــــــــــو م ص = لـــــــــــــو م س/ص
• لــــــــــــو م س ن = ن لــــــــــــو م س
• لــــــــــــو س س = 1
• لــــــــــــو م 1 = صفر
مثال (1)
بدون استخدام الآلة اثبت أن 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7= 2
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو 2 14 – 4 لــــــو 2 5 + 2 لــــــو 2 25/7
= لــــــــو 2( 14)^ 2 – لـــــــو 2( 5)^ 4 + لــــــــو2 (25/7)^2
= لــــــــو 2 196 – لـــــــو 2 625 + لــــــــو 2 25/7
= لـــــــــو 2 (196×625) /( 625 × 49 ) = لــــــــو2 4 = لــــــو2 (2)2 = 2 لـــــو2 2 = 2
مثال (2)
بدون استخدام الآلة اثبت أن :
2 لـــــو3 15 + لـــــو3 7/3 – لــــو3 5 – لــــو3 35 = 2 لــــــــو5 جذر 5
الحل
الأيمن = 2 لــــــــو3 15 + لــــــو3 7/3 – لــــــو3 5 – لــــــــو3 35
= لــــــــو3( 15)^2+ لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــو3 35
= لــــــــو3 225 + لــــــــو3 7/3 – لـــــــو3 5 – لـــــــــو3 35
= لـــــــــو3(225×7)/( 5× 3×35) = لــــــــو3 3 = 1
الأيسر = 2 لـــــــــو5 جذر 5 = لـــــــــــو5 ( جذر 5 )^ 2 = لـــــــو5 5 = 1 = الأيمن
مثال (3)
إذا كان : 3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 ( لـــــو 2 + لـــــو 3 )
اثبت أن : س ص = 6
الحل
3 لـــــــو س + 4 لــو ص – لــــــو س ص^ 2 = 2 لـــــو 2 + 2 لـــــو 3
لـــــــو س^3 + لــو ص^4 – لــــــو س ص^ 2 = لـــــو( 2)^2 + لـــــو( 3 )^2
لــــــــو (س^3 × ص^4 ) / س ص^ 2 = لــــــــو 4 + لــــــــــو 9 = لــــــــو 4 × 9
لــــــــــــــــــــــو س2 ص2 = لــــــــــو 36
س2 ص2 = 36 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين
س ص = 6
فضل الذكر
قال صلي الله عليه وسلم " ألا أنبأكم بخير أعمالكم ، وأزكاها عند مليككم ، وأرفعها فى درجاتكم ، وخير لكم من إنفاق الذهب والورق وخير لكم من أن تلقوا عدوكم فتضربوا أعناقهم ويضربوا أعناقكم ؟ قالوا : بلى . قال ذكر الله "
الترمذي ، بن ماجه .
قال صلي الله عليه وسلم "مثل الذى يذكر ربه والذى لا يذكر ربه مثل الحى والميت "
البخارى
تذكر أن
لـــــوأ ص 000000000000 ص = (أ)^ س
مثال (4)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2
الحل
لــــــــــو س ( س + 6 ) = 2 0000000000 س + 6 = س^2
س2 – س – 6 = 0
( س – 3 ) ( س + 2 ) = 0
س = 3 & س = – 2 مرفوض
مجموعة حل المعادلة = { 3 }
مثال (5)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو ( س2 + 9 س ) = 1
الحل
لــــــــــو ( س2 + 9 ) = 1 س2 + 9 س = (10)^1
س2 + 9س – 10 = 0
( س – 1 ) ( س + 10 ) = 0
س = 1 تحقق المعادلة س = – 10 تحقق المعادلة
مجموعة حل المعادلة = { 1 ، – 10}
مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــو4 س + لـــــــو4 ( س + 12 ) = 3
الحل
لــــــــــــــــو 4 س ( س + 12 ) = 3
لــــــــــــــو 4 ( س2 + 12 س) = 3
س2 + 12 س = 4 3 = 64
س2 + 12س – 64 = 0
( س – 4 ) ( س + 16 ) = 0
س = 4 & س = ــ 16 مرفوض
مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
الحل
لــــــــــو 4 لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س^8 = 1
لــــــــو 2 لـــــــــو 3 س8 = 4 ^1 = 4
لـــــــــو 3 س8 = (4)^2 = 16
س8 = (3)^ 16
س8 = (3)^(2 ×8 )= ( (3)^2 )^8
س8 = ( (3)^2 )^8
س = (3)^ 2 = 9
مجموعة الحل = { 9 }
تذكر أن
لـــــــو م س = لــــــوم ص 0000000000000000000 س = ص
مثال (6)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = 3 لــــــــو 3 2
الحل
لــــــــــو 3 ( س – 1 ) + لــــــــو 3 ( س + 1 ) = لــــــــو 3 (2)3
لــــــــــو 3 ( س – 1 )( س + 1 ) = لــــــــو 3 8
لــــــــــو 3 ( س2 – 1 ) = لــــــــو 3 8
س2 – 1 = 8
س2 – 9 = 0
( س – 3 ) ( س + 3 ) = 0
س = 3 س = – 3 مرفوض
م . ح = { 3 }
مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــو( س – 1 )^ 3 – 3 لـــو( س – 3 ) = لـــو 8
الحل
لــــــــــو ( س – 1 )^3 – لــــــــو ( س – 1 )^3 = لــــــــو 8
لــــو( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = لـــــــــو 8
( س – 1 )^3 / ( س – 3 )^3 = 8 بأخذ الجذر التكيعبيي للطرفين
( س – 1 ) / ( س – 3 ) = 2
س – 1 = 2س – 6
س = 5
م.ح = { 5 }
مثال (7)
اوجد مجموعة حل المعادلة :
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3 ) = 1 – لــــــــو 5
الحل
لــــــــــو ( س – 2 ) + لــــــــو ( س – 3) = لــــــــو 10 – لــــــــو 5
لــــــــــو ( س – 2 )( س – 3) = لــــــــو10/5 = لــــــــــــو 2
لــــــــــو ( س^2 – 5 س + 6 ) = لــــــــو 2
س^2 – 5 س + 6 = 2
س^2 – 5 س + 4 = 0
( س – 4 ) ( س – 1 ) = 0
س = 4 أ، س = 1 مرفوض
م . ح = { 4 }
تذكر أن
( 1 )لـــــــــــــوم س^ ن / لـــــــــــــوم س^ ك = ن لـــــــــــوم س / ك لـــــــــــوم س = ن / ك
( 2 ) لـــــــــــــوم125 / لـــــــــــــوم5 لا يساوي 125 / 5
مثال (8)
إذا كان لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6 = لو 64 / لو ص فاوجد قيمة س ، ص ؟
الحل
لـــــــو س / لو 5 = لو 36 / لو 6 = لو 6^2 / لو 6 = 2لو6/ لو6 = 2
لـــــــو س / لو 5 = 2 لــــــــــــــو س = 2 لــــــــــــو 5
لــــــــــــــــــو س = لـــــــــــــو (5)^2 = لـــــو 25
س = 25
لو 64 / لو ص = 2 00000000000 2 لـــــــــو ص = لــــــــــو 64
لـــــــــــــو ص^2 = لــــــــــــــــو 64
ص^2 = 64 000000000 ص = 8
مثال (9)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو2 س =( 2 لو 9 × لو 8 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )
الحل
لـــــــــــو2 س = ( 2لـــــو 3^2× لــــــو 2^3 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
( 4لـــــو 3 × لــــــو 2^3 ) / (لو 3 × 3 لو 2 )=
لــــــــــــو2 س = 4
لـــــــــو 2 س = 4 00000 س = (2)^4 س = 16
مثال (10)
اوجد قيمة : لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32
الحل
لـــــــو7 لـــــــو3 81 / لـــــــو7 32 = لـــــــو7 لـــــــو3 (3)^4 / لـــــــــو 7 32
= لـــــــو7 4× لـــــــو3 3 / لـــــــو 7 32 = لـــــــو7 4 × 1 / لـــــــو7 32 =
2 لـــــــــو7 2 / 5 لـــــــــو7 2 = 2
تذكر أن
• ( لـــــــــــــوم س)^2 = لـــــــــــوم س × لـــــــوم س
• لـــــــــــــوم س^2 = 2 لـــــــــــوم س
• ( لـــــــــــــوم س)^2 ≠ لـــــــــــوم س^2
مثال (11)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
الحل
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ لــــــــــــو س^3 = 4
( لـــــــــــو س )^ 2 ــ 3لــــــــــــو س – 4 = 0
( لــــــــــو س – 4 ) ( لـــــــــو س + 1 ) = 0
لــــــــــــو س = 4 لـــــــــــــو س = ــ 1
س = 10^4= 10000 0000 س = 10 ^- 1 = 0.1
مجموعة حل المعادلة = { 10000 ، 0.1 }
مثال (12)
اوجد مجموعة حل المعادلة : ( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو س/ 10 = 3
الحل
( لـــــــــــو س + 1 ) لــــــــــــو س / 10 = 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – لــــــــو 10 ) = 3
( لـــــــــو س + 1 ) ( لــــــــــو س – 1 ) = 3
( لـــــــــو س ) ^2 – 1 = 3
( لـــــــــو س )^ 2 – 4 = 0
( لــــــــــو س – 2 ) ( لــــــــو س + 2 ) = 0
لــــــــــــو س = 2 لــــــــــو س = – 2
س = (10)^2 = 100 00000000000000000س = (10)^ ــ 2 = 0.01
م. ح = { 100 ، 0.01 }
مثال (13)
اوجد مجموعة حل المعادلة : لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 125] / لـــــــو 0.005
الحل
لـــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ لـــــــو 5^3] / [لـــــــو 5 ــ لـــــــو 1000 ]
لــــــــــــو س = [( لـــــــو 5 )^2 ــ 3 لـــــــو 5] / لـــــــو 5 ــ 3
لـــــــــو س =لـــــــو 5 ( لـــــــو 5 ــ 3 ) / (لـــــــو 5 ــ 3) = لـــــــــــــو 5
لـــــــــو س = لـــــــو 5 00000000000000000000 س = 5
مثال (14)
إذا كان لــــــــو س 5 = 0.5 فاثبت أن :
[ لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س ] / [لــــــــو3 ( 3س + 6 ) ] = 1/2
الحل
لــــــــو س 5 = 0.5 00000 س^ 0.5 = 5 00000000س = 25
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
لــــــــو5 (25)2 – لـــــــــو 4× 25 / لــــــــو3 ( 3× 25 + 6 )
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
لــــــــو5 (5)4 – لـــــــــو 100 / لــــــــو3 81
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
4 لــــــــو5 5 – 2لـــــــــو 10 / 4 لــــــــو3 3
لــــــــو5 س^2 – لـــــــــو 4س / لــــــــو3 ( 3س + 6 ) =
(4 – 2 ) / 4 = 2 / 4 = 1 / 2
مثال (15)
اوجد مجموعة حل المعادلة : (8)^ س+ 1 = (9)^ س – 2
الحل
بأخذ اللوغاريتم للطرفين نجد أن
لـــــــــــو (8)^ س+ 1 = لــــــــــــو (9)^ س – 2
( س + 1 ) لــــــــــــو 8 = ( س – 2 ) لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 + لــــــــــو 8 = س لــــــــــو 9 – 2لـــــــــو 9
س لــــــــــو 8 – س لــــــــــو 9 = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) = ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9
س = ( لــــــــــو 8 – لــــــــــو 9 ) / (ــ لــــــــــو 8 – 2لـــــــــو 9)
باستخدام الآلة الحاسبة من اليسار إلى اليمين كالآتي :
( – 2 log 9 – log 8 ) ÷ (log 8 – log 9 ) =
س = 54.9645
مثال (16)
إذا كان : 2 ×5 ^ص = 5 × 2 ^ص + 2 فاوجد قيمة ص لأقرب رقم عشرى
الحل
لــــــــــو ( 2 ×5 ^ص ) = لـــــــــو ( 5 × 2 ^ص + 2 )
لـــــــــو 2 + لــــــــــو 5 ^ص = لـــــــــــو 5 + لـــــــــو 2 ^ص + 2
لــــــــو 2 + ص لـــــــــو 5 = لـــــــــو 5 + ( ص + 2 ) لــــــــو 2
لــــــــو 2 + ص لــــــــو 5 = لــــــــو 5 + ص لــــــــو 2 + 2لــــــــو 2
ص لــــــــو 5 ــ ص لــــــــو 2 = لــــــــو 5 + 2لــــــــو 2 ــ لــــــــو 2
ص ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 ) = لــــــــو 5 + لــــــــو 2
ص = ( لــــــــو 5 + لــــــــو 2 ) / ( لــــــــو 5 ــ لــــــــو 2 )
( log 5 + log 2 ) ÷ (log 5 – log 2 ) =
ص = 2.5
مثال (17)
إذا كان : 3 ^(7 + 2 س) = 18.1 فاوجد قيمة س لأقرب رقمين عشرين
الحل
لــــــــــو [3 ^(2س + 7 ) ] = لـــــــــو 18.1
( 2س + 7 ) لو 3 = لــــــــــــــو 18.1
2س لــــــــــــو 3 + 7 لـــــــــو 3 = لــــــــــــو 18.1
2س لــــــــو 3 = لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3
س = ( لــــــــــو 18.1 – 7 لــــــــــــو 3 ) / 2 لو 3
( log 18.1 – 7 log 3 ) ÷ 2 log 3 =
ص = ــ 2.18
مثال(18)
إذا كان : لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر
أثبت أن س – ص = 0
الحل
لـــــوب س + لـــــوب ص – 2لــــــــوب ( س + ص ) / 2 = صفر
لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س + ص ) / 2 ]^2= صفر
لـــــوب س + لـــــوب ص – لــــــــوب [ ( س2 + 2س ص + ص2 ) / 4 ] = صفر
لـــــوب ( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 0
( س × ص × 4 ) / ( س2 + 2س ص + ص2 ) = 1
س2 + 2س ص + ص2 = 4 س ص
س2 + 2س ص + ص2 – 4 س ص = 0
س2 – 2س ص + ص2 = 0
( س – ص )( س – ص ) =0
س – ص = 0 #
مثال(19)
إذا كان ص = أ^ لــــــــوأ س 0000000فاثبت أن ص = س ومن ذلك أوجد قيمة 2^ لـــــــو2 5
الحل
ص = أ^لـــــــوأ س 000000000000000000 بوضع لــــــــوأ س = ع
ص =أ^ع
لــــــــــو أ ص = ع
لــــــــــو أ ص = لــــــــوأ س
ص = س
2^لـــــــو2 5 = 5
مثال(21)
أثبت أن : لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
ومن ذلك حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
بوضع : لـــــــــوس ص = ع ص = س^ع (1)
بوضع : لــــــــــوب ص = ن ص = ب^ن (2)
بوضع : لــــــــــوس ب = ك ب =س^ك (3)
بالتعويض من (1) & (3) فى (2) نجد أن
س^ع = (س^ك)^ن 0000000الأساس = الأساس 0000000الأس = الأس
ع = ك × ن
لـــــــــوس ص = لــــــــــوب ص × لــــــوس ب
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 9
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × لــــــو3 23
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 4 × 2 لــــــو3 3
لـــــــــو9 هـ = ( لــــــــــو9 4 )× 2 = 2 لــــــــــو9 4 = لــــــو9 24 = لــــــو9 16
لـــــــــو9 هـ = لــــــــــو9 16 00000000000000000000 هـ = 16
مثال (22)
حل المعادلة : لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4
الحل
لـــــــــــــــو9 هـ = لــــــــــو3 4 = ك
لــــــــــو3 4 = ك 0000000 3^ك = 4 (1)
لـــــــــــو9 هـ = ك 00000 9^ك= هـ
( 3^2)^ك = هـ (3ك)^2 = هـ (2)
من (1) فى (2)
هـ = (4)^2 0000000000000000 هـ = 16
مثال(23)
إذا كانت س = لــــو 5 ÷ لـــــــو 3 فاوجد قيمة المقدار 9^س – 3 ^ ( س + 1 )+ 2
الحل
س = لو 5/ لو 3 0000000000 س لــــــــو 3 = لــــــــو 5
لـــــــــو 3^س = لــــــــو 5 0000000000000 3^س= 5
قيمة المقدار : 9^س – 3 ^(س + 1 )+ 2 = (3^2)^س – 3 ^س × 3 + 2
= (3^س)2 – 3 ^س × 3 + 2= (5)2 – 5 × 3 + 2
= 25 – 15 + 2 = 12
والحمد لله على انتهائي ++++++++ كما حمدت الله في ابتدائي
أسأله مغفرة الذنوب ++++++++ جميعها والستر للعيوب
ثم الصلاة والسلام أبدا ++++++++ ما جرت الأقلام بالمداد
تغشي النبي محمدا ++++++++ تدوم سرمدا ً بلا نفاد
تم بحمد الله
أسأل الله أن ينفع به ( لا تنسونا من صالح دعائكم )
مع تمنياتي لكم :
بــالــتــوفـيـق والــنــجــاح الـــبـــاهــــــــــر
